Среднеквадратичное отклонение случайной величины — понятие и примеры, отражающие ее статистическую вариабельность

Среднеквадратичное отклонение – одна из основных характеристик случайной величины, позволяющая оценить степень ее разброса относительно среднего значения. Это важное понятие широко применяется в различных областях науки, статистики и финансов, где требуется анализировать и оценивать случайные данные.

Среднеквадратичное отклонение определяется как квадратный корень из дисперсии случайной величины. Оно применяется для измерения стандартного расстояния от среднего значения до каждого отдельного значения выборки. Чем больше значения распределены относительно среднего значения, тем выше среднеквадратичное отклонение.

Для большинства типов распределений, среднеквадратичное отклонение имеет следующие интерпретации:

• Если случайная величина имеет нормальное распределение, то около 68% значений лежат в пределах одного среднеквадратичного отклонения от среднего значения, около 95% – в пределах двух, а около 99.7% – в пределах трех стандартных отклонений;
• Чем больше значение среднеквадратичного отклонения, тем больше разброс значений, а значит, тем менее точно предсказуемы будущие значения;
• Среднеквадратичное отклонение часто используется для сравнения различных групп данных, чтобы определить, насколько они отличаются друг от друга.

Среднеквадратичное отклонение случайной величины

Среднеквадратичное отклонение вычисляется по следующей формуле:

σ = √(∑(X-μ)² / N)

• σ — среднеквадратичное отклонение
• X — значение случайной величины
• μ — среднее значение случайной величины
• N — количество значений случайной величины

Чем больше значение среднеквадратичного отклонения, тем больше разброс значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Величина среднеквадратичного отклонения всегда будет неотрицательной.

Пример:

Рассмотрим случайную величину «количество посетителей в торговом центре за каждый день недели». В течение недели число посетителей составило: 1000, 800, 1200, 900, 1100. Сначала нужно найти среднее значение этой случайной величины:

Среднее значение = (1000 + 800 + 1200 + 900 + 1100) / 5 = 1000

Теперь вычислим среднеквадратичное отклонение:

σ = √(((1000-1000)² + (800-1000)² + (1200-1000)² + (900-1000)² + (1100-1000)²) / 5) = 141.42

Таким образом, среднеквадратичное отклонение этой случайной величины составляет примерно 141.42. Это означает, что значения количества посетителей в торговом центре рассеяны вокруг среднего значения в пределах примерно 141.42.

Определение

Среднеквадратичное отклонение вычисляется как квадратный корень из дисперсии случайной величины. Дисперсия, в свою очередь, измеряет средний квадрат отклонения случайной величины от ее среднего значения.

Чем выше значение среднеквадратичного отклонения, тем больше разброс значений случайной величины вокруг ее среднего значения. Низкое значение среднеквадратичного отклонения, наоборот, свидетельствует о том, что значения случайной величины сгруппированы близко к ее среднему значению.

Примеры

Рассмотрим пример случайной величины — распределение роста студентов в классе. Пусть наблюдается следующий набор данных: 160, 165, 170, 175, 180. Среднее значение (средний рост) равно (160 + 165 + 170 + 175 + 180) / 5 = 170.

Чтобы вычислить среднеквадратичное отклонение, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Вычислить отклонение каждого значения от среднего значения: (160 — 170), (165 — 170), (170 — 170), (175 — 170), (180 — 170) = -10, -5, 0, 5, 10.

2. Возвести каждое отклонение в квадрат: (-10)², (-5)², 0², 5², 10² = 100, 25, 0, 25, 100.

3. Вычислить среднее значение полученных квадратов: (100 + 25 + 0 + 25 + 100) / 5 = 50.

4. Взять квадратный корень из полученного значения: √50 ≈ 7.07 (округленно до двух десятичных знаков).

Среднеквадратичное отклонение для данного набора данных равно около 7.07. Это означает, что в среднем значения роста случайной выборки студентов отклоняются от среднего роста на 7.07 единиц.

Таким образом, среднеквадратичное отклонение является важной мерой разброса случайной величины и позволяет оценить, насколько данные значения отклоняются от среднего значения. Это позволяет более точно понять дисперсию и предсказуемость случайной величины.

Примеры

Рассмотрим несколько примеров вычисления среднеквадратичного отклонения случайной величины.

Суммируя значения квадратов отклонений, получаем:

0.25 + 6.25 + 0.25 = 6.75

Среднеквадратичное отклонение равно квадратному корню из полученной суммы:

sqrt(6.75) ≈ 2.60

Таким образом, среднеквадратичное отклонение данного набора значений равно примерно 2.60.