Корни квадратного уравнения равны по модулю — условия и примеры

Квадратные уравнения являются одним из базовых математических концептов, которые мы изучаем в школе. Однако, существуют особые случаи, когда корни квадратного уравнения равны по модулю. Это интересное свойство уравнений можно применить для решения различных задач и построения графиков функций.

Для того чтобы понять, когда корни квадратного уравнения будут равны по модулю, нужно рассмотреть его дискриминант. Дискриминант – это выражение, которое находится под знаком радикала в формуле нахождения корней. Если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет один корень, который будет равен по модулю нулю. Однако, если дискриминант больше нуля или меньше нуля, то у уравнения будет два различных корня, которые не будут равны по модулю.

Рассмотрим примеры. Рассмотрим квадратное уравнение x^2 — 6x + 9 = 0. Дискриминант такого уравнения равен 0, так как (b^2 — 4ac) = (6^2 — 4*1*9) = 0. Из этого следует, что уравнение имеет только один корень, который равен по модулю нулю.

Условия равенства по модулю корней

Квадратное уравнение имеет равенство по модулю корней, если выполняются определенные условия. Давайте рассмотрим эти условия и рассмотрим примеры для лучшего понимания.

1. Правый и левый корни равны по модулю.

Если левый корень равен a+bi, то правый корень должен быть равен -(a+bi).

• Пример 1: Рассмотрим квадратное уравнение x^2 + 2x + 1 = 0.

Уравнение может быть факторизовано как (x+1)^2 = 0.

Левый корень x = -1 + 0i, а правый корень x = -1 + 0i.

Правый и левый корни равны по модулю, что означает, что это уравнение имеет равенство по модулю корней.

• Пример 2: Рассмотрим квадратное уравнение x^2 — 4x + 4 = 0.

Уравнение может быть факторизовано как (x-2)^2 = 0.

Левый корень x = 2 + 0i, а правый корень x = 2 + 0i.

Правый и левый корни равны по модулю, что означает, что это уравнение имеет равенство по модулю корней.

2. Корни являются конечными действительными числами.

Если корни квадратного уравнения являются действительными числами без мнимой части, то можно сказать, что уравнение имеет равенство по модулю корней.

• Пример 1: Рассмотрим квадратное уравнение x^2 — 3x + 2 = 0.

Уравнение может быть факторизовано как (x-1)(x-2) = 0.

Левый корень x = 1, а правый корень x = 2.

Оба корня являются действительными числами, поэтому это уравнение имеет равенство по модулю корней.

• Пример 2: Рассмотрим квадратное уравнение x^2 + 2x + 5 = 0.

Уравнение имеет комплексные корни, x = -1 + i√4 и x = -1 — i√4.

Поскольку корни содержат мнимую часть, уравнение не имеет равенства по модулю корней.

Зная эти условия, вы сможете определить, имеет ли квадратное уравнение равенство по модулю корней. Это может быть полезным при решении задач, связанных с квадратными уравнениями.

Квадратное уравнение

Уравнение имеет два решения, которые могут быть вещественными или комплексными числами. Для определения типа решений используется дискриминант D = b^2 — 4ac. Он позволяет судить о количестве и характере решений квадратного уравнения.

В случае, когда D > 0, уравнение имеет два различных вещественных корня. Если D = 0, то уравнение имеет два равных вещественных корня. Если D < 0, то уравнение имеет два комплексных корня. Таким образом, условия равенства по модулю корней квадратного уравнения возникают только при случае D = 0, когда оба корня совпадают.

Например, рассмотрим квадратное уравнение x^2 — 6x + 9 = 0. В этом случае коэффициенты a = 1, b = -6, c = 9. Дискриминант D = (-6)^2 — 4 * 1 * 9 = 0. Так как D равен нулю, уравнение имеет два равных вещественных корня x = 3.

Условия равенства

Условиями для равенства по модулю корней квадратного уравнения являются:

1. Дискриминант равен нулю. Дискриминант вычисляется по формуле D = b^2 — 4ac, где a, b и c — коэффициенты квадратного уравнения ax^2 + bx + c = 0. Если дискриминант равен нулю, то у квадратного уравнения есть два одинаковых корня.
2. Коэффициенты a и b равны нулю или противоположны друг другу. Если a = 0 и b = 0, то квадратное уравнение превращается в линейное уравнение, а разность его корней будет равна нулю. Если a = 0 и b ≠ 0, то уравнение не является квадратным. Если a ≠ 0 и b = -2ax, где x — корень уравнения, то модули корней также будут равны.
3. Оба корня являются равными нулю.

Примеры:

• Уравнение x^2 — 4x + 4 = 0 имеет дискриминант равный нулю и корни равные 2 и 2. Модули корней равны.
• Уравнение 3x^2 — 6x + 3 = 0 имеет коэффициенты a = 3 и b = -6, и при решении получаем корень x = 1. Модули корней равны.
• Уравнение x^2 + 5x + 6 = 0 имеет корни x = -2 и x = -3, которые не равны нулю друг другу. Модули корней не равны.

Примеры

Рассмотрим несколько примеров, чтобы проиллюстрировать условия, при которых корни квадратного уравнения равны по модулю.

Пример 1:

Уравнение: x² — 4x + 4 = 0

Корни уравнения: x₁ = 2, x₂ = 2

Оба корня равны и имеют одинаковое значение по модулю, так как 2 и 2 имеют одинаковое расстояние от нуля на числовой оси.

Пример 2:

Уравнение: x² + 6x + 9 = 0

Корни уравнения: x₁ = -3, x₂ = -3

Опять же, оба корня равны и имеют одинаковое значение по модулю, так как -3 и -3 находятся на одинаковом расстоянии от нуля на числовой оси.

Пример 3:

Уравнение: x² — 5x — 24 = 0

Корни уравнения: x₁ = -3, x₂ = 8

В этом примере корни уравнения не равны по модулю, так как -3 и 8 находятся на разных расстояниях от нуля на числовой оси.

Таким образом, условиями равенства по модулю корней квадратного уравнения является то, что оба корня должны иметь одно и то же значение и находиться на одинаковых расстояниях от нуля на числовой оси.