Числа и арифметика всегда привлекали внимание людей. Часто мы задаемся вопросом о количестве чисел, которые можно составить по определенным правилам. В данной статье мы рассмотрим одну из таких задач — сколько существует четырехзначных чисел, кратных 5, и как их можно составить. Приготовьтесь к подробному разбору этой интересной математической задачи!
Для начала разберем правило о том, что число должно быть кратным 5. Вспомним, что число является кратным 5, если оно делится на 5 без остатка. Это означает, что последняя цифра числа может быть только 0 или 5. Также важно понимать, что для составления четырехзначного числа нам необходимо выбрать три оставшиеся цифры.
Далее мы приступим к решению задачи. Весь процесс поиска количества четырехзначных чисел, кратных 5, является комбинаторным. Комбинаторика — это раздел математики, изучающий правила и способы подсчета количества объектов. Здесь нам поможет комбинаторный метод перестановок и сочетаний.
Анализ условия
Нам необходимо определить, сколько четырехзначных чисел, делящихся на 5, можно составить.
Четырехзначное число:
— имеет 4 разряда;
— первая цифра не может быть нулем, так как это изменит его длину;
— может содержать любую цифру от 0 до 9 на каждом разряде.
Чтобы число было кратным 5, его последняя цифра должна быть нулем или пятеркой.
Возможные значения для первой цифры числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Здесь учитывается, что число должно быть четырехзначным.
Значение первой цифры можно выбирать из 9 возможных значений (так как ноль не допускается).
Последнюю цифру можно выбрать из 2 возможных значений: 0 или 5. Остальные цифры могут быть любыми (0-9).
Таким образом, можем составить (9 * 10 * 10 * 2) = 1800 четырехзначных чисел, кратных 5.
Первый шаг: выбор тысячных разрядов
Чтобы составить четырехзначное число кратное 5, первым шагом необходимо выбрать значение для тысячного разряда. В данном случае, мы можем выбрать любую цифру от 1 до 9, исключая 0.
Следует отметить, что четырехзначное число не может начинаться с нуля, поэтому ноль не является допустимым выбором. Таким образом, у нас есть 9 возможных вариантов для выбора значения тысячных разрядов.
Например, если мы выберем 3 в качестве значения тысячного разряда, наше четырехзначное число будет иметь вид 3ABC, где A, B и C представляют оставшиеся три разряда.
Второй шаг: выбор сотенных разрядов
На данном шаге необходимо выбрать значение для сотенного разряда числа. Учитывая, что исходное число должно быть четырехзначным и кратным 5, возможные значения для сотенного разряда могут быть только от 1 до 9, так как разряд тысячных должен быть нулевым.
Чтобы найти количество четырехзначных чисел кратных 5, нужно определить количество возможных значений для каждого разряда. Так как сотенный разряд может принимать только 9 значений, количество вариантов для сотенного разряда будет равно 9.
При выборе значения для сотенного разряда учитываем, что оно должно быть меньше десятковых и тысячных разрядов, чтобы число оказалось четырехзначным.
Таким образом, на данном шаге количество возможных вариантов для сотенного разряда равно 9.
Третий шаг: выбор десятичных разрядов
После определения первой и второй цифры числа, остается выбрать последние две цифры, чтобы получить четырехзначное число кратное 5.
В десятичной системе счисления возможны 10 вариантов для каждого разряда от 0 до 9. Однако, так как последние две цифры должны образовывать число, кратное 5, некоторые варианты исключаются:
- 0: не удовлетворяет условию кратности 5;
- 5: уже использовалось в определении второй цифры числа.
Таким образом, возможные варианты для третьего и четвертого разрядов ограничиваются числами от 1 до 4, 6 до 9. Всего 8 вариантов для каждого разряда.
Теперь, для каждой выбранной комбинации первой и второй цифры, есть 8 вариантов для последних двух цифр.
Четвертый шаг: выбор единичных разрядов
Для того чтобы число было кратным 5, его единичный разряд должен быть 0 или 5. Это означает, что у нас есть два варианта выбора: либо единичный разряд равен 0, либо единичный разряд равен 5. Все остальные цифры (другие разряды числа) можно выбрать произвольно из оставшихся девяти цифр (1-9).
Следовательно, для каждого из двух вариантов выбора для единичного разряда, у нас есть 9 вариантов выбора для остальных разрядов числа:
- для единичного разряда равного 0: существует 9 возможных цифр для разрядов тысяч, сотен и десятков. То есть 9 * 9 * 9 = 729 вариантов.
- для единичного разряда равного 5: также существует 9 возможных цифр для разрядов тысяч, сотен и десятков. То есть еще 9 * 9 * 9 = 729 вариантов.
Итак, количество четырехзначных чисел, кратных 5, составляет 729 + 729 = 1458.
Подсчет количества возможных чисел
Чтобы определить количество возможных чисел, мы можем использовать формулу для расчета количества чисел в заданном диапазоне. Формула для расчета количества чисел в числовом интервале выглядит так: количество чисел = (конечное число — начальное число) / шаг + 1.
В данном случае, начальное число — 1000, конечное число — 9999, и шаг — 5, так как нам нужны числа, кратные 5. Подставляя эти значения в формулу, получаем: количество чисел = (9999 — 1000) / 5 + 1.
Далее, мы можем вычислить значение в скобках: (9999 — 1000) / 5 + 1 = 8999 / 5 + 1 = 1799 + 1 = 1800.
Таким образом, количество четырехзначных чисел, кратных 5, равно 1800.
Примеры составления чисел
| Пример | Число |
|---|---|
| Пример 1 | 1365 |
| Пример 2 | 5235 |
| Пример 3 | 9375 |
И так далее…
Окончательный ответ
В данной задаче требуется определить, сколько четырехзначных чисел кратных 5 можно составить.
Чтобы число было кратно 5, его последняя цифра должна быть 0 или 5.
Мы ищем четырехзначные числа, поэтому первая цифра должна быть отлична от нуля.
Для первой цифры имеем 9 вариантов (от 1 до 9), для второй, третьей и четвертой цифры — 10 вариантов (от 0 до 9).
Итого получаем: 9 * 10 * 10 * 10 = 9000.
Значит, можно составить 9000 четырехзначных чисел, которые кратны 5.