Поле комплексных чисел – одно из основных понятий алгебры и математического анализа. Оно представляет собой наиболее общую и полную систему чисел, включающую в себя как вещественные, так и мнимые числа. Один из ключевых элементов этого поля – единица, которая является базовым строительным блоком для всех остальных чисел.
Единица в поле комплексных чисел обладает рядом важных свойств. Во-первых, она является нейтральным элементом для операции умножения: умножение любого числа на единицу даёт само число. Во-вторых, она обладает свойством обратимости, то есть для любого комплексного числа найдется такое число, при умножении на которое оно даст единицу. Это важное свойство отличает поле комплексных чисел от других числовых систем.
Обратимость чисел в поле комплексных чисел имеет важные приложения в различных областях математики и физики. Например, она используется при решении уравнений и систем уравнений, при анализе электрических цепей, а также в теории вероятностей и статистике. Понимание единицы и обратимости в поле комплексных чисел позволяет создавать эффективные алгоритмы и методы для решения различных задач и проблем.
Основные понятия
Поле комплексных чисел − это множество всех чисел вида a + bi, где a и b − вещественные числа, а i − мнимая единица.
Мнимая единица i − это число, для которого i^2 = -1. Она играет особую роль в поле комплексных чисел и служит основой для построения комплексных чисел.
Вещественная часть комплексного числа a + bi обозначается Re(z) или Re(a + bi) и равна a. Имагинантная часть комплексного числа обозначается Im(z) или Im(a + bi) и равна b.
Комплексное число a + bi обратимо, если существует такое комплексное число, которое, умноженное на него, будет равно единице. То есть комплексное число a + bi обратимо, если существует комплексное число x + yi, такое что (a + bi)(x + yi) = 1.
Единица в поле комплексных чисел обозначается 1 + 0i. Все ненулевые комплексные числа обратимы, а нуль является непереводимым элементом.
Обратное к комплексному числу a + bi обозначается (a + bi)^-1 и вычисляется по формуле (a + bi)^-1 = a/(a^2 + b^2) — bi/(a^2 + b^2).
Сложение и вычитание
Например, если у нас есть два комплексных числа z1 = a + bi и z2 = c + di, то их сумма будет равна z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i.
Вычитание комплексных чисел также производится покоординатно: из действительной части отнимается действительная часть, а из мнимой – мнимая.
Например, если у нас есть два комплексных числа z1 = a + bi и z2 = c + di, то их разность будет равна z1 — z2 = (a — c) + (b — d)i.
Таким образом, сложение и вычитание комплексных чисел в поле комплексных чисел осуществляется аналогично операциям сложения и вычитания обычных действительных чисел.
Умножение
Коммутативность: Умножение двух комплексных чисел не зависит от порядка этих чисел:
a * b = b * a
Ассоциативность: Умножение трех комплексных чисел можно выполнить в любом порядке, и результат будет одинаковым:
(a * b) * c = a * (b * c)
Существование единицы: В поле комплексных чисел существует единица, обозначаемая числом 1. Умножение комплексного числа на единицу не изменяет его значения:
a * 1 = a
Существование обратного элемента: Для каждого комплексного числа a существует обратный элемент a-1, такой что:
a * a-1 = 1
Умножение комплексных чисел может быть представлено в алгебраической форме, используя действительные числа, а также в геометрической форме, используя плоскость комплексных чисел.
Деление
Пусть даны два комплексных числа:
a = a1 + a2i и
b = b1 + b2i, не равные нулю.
Деление комплексных чисел определяется следующим образом:
| Делимое | Делитель | Частное | Остаток |
|---|---|---|---|
| a | b | a / b = (a * conjugate(b)) / (b * conjugate(b)) | — |
| conjugate(b) |
где conjugate(b) = b1 — b2i — комплексно-сопряженное число для числа b.
Итак, для выполнения операции деления комплексных чисел требуется следующий алгоритм:
- Найти комплексно-сопряженное число числа b.
- Умножить числа a и b, а также числа conjugate(a) и conjugate(b) между собой.
- Разделить результаты умножения, получившиеся в предыдущем шаге.
Результатом деления будет частное от деления двух комплексных чисел.
В случае, если делитель равен нулю, деление не определено, так как в поле комплексных чисел нет элемента обратного к нулю.
Обратимые элементы поля
Для произвольного комплексного числа z = a + bi, где a и b — действительные числа, обратное число находится по формуле:
z^(-1) = (a + bi)^(-1) = (a/(a^2 + b^2)) — (b/(a^2 + b^2))i
Интересно, что формула для обратного числа полностью аналогична формуле для обратного числа вещественного поля, за исключением того, что здесь вместо деления на сумму квадратов используется деление на квадрат суммы квадратов.
Например, для комплексного числа z = 2 + 3i его обратное число будет выглядеть следующим образом:
| Число | Обратное число |
|---|---|
| z = 2 + 3i | z^(-1) = 2/13 — 3/13i |
Единица и нуль
В поле комплексных чисел единицей называется число 1, которое обладает свойствами:
- Умножение на единицу не меняет числа: 1 * a = a для любого комплексного числа a.
- Единица является нейтральным элементом для умножения: 1 * a = a * 1 = a для любого комплексного числа a.
Нулем в поле комплексных чисел называется число 0, удовлетворяющее следующим свойствам:
- Сложение с нулем не меняет числа: a + 0 = a для любого комплексного числа a.
- Ноль является нейтральным элементом для сложения: a + 0 = 0 + a = a для любого комплексного числа a.
- Умножение на ноль дает ноль: a * 0 = 0 * a = 0 для любого комплексного числа a.