Корни уравнения – это значения переменной 𝑥, при которых уравнение принимает значение 0. Количество корней уравнения может быть различным в зависимости от его типа и коэффициентов. В данной статье мы рассмотрим уравнение вида 𝑥^2 + 𝑥 − 3 и определим его корни.
Для начала проверим дискриминант уравнения. Дискриминант вычисляется по формуле: 𝐷 = 𝑏^2 − 4𝑎𝑐, где 𝑎, 𝑏 и 𝑐 – коэффициенты уравнения. В нашем случае 𝑎 = 1, 𝑏 = 1 и 𝑐 = −3. Подставляя значения в формулу, получаем: 𝐷 = 1^2 − 4·1·(−3) = 1 + 12 = 13.
Если дискриминант больше 0, то уравнение имеет два различных корня. Если дискриминант равен 0, то уравнение имеет один корень. Если дискриминант меньше 0, то уравнение не имеет действительных корней.
В нашем случае дискриминант равен 13, что больше 0, следовательно, уравнение имеет два различных корня. Чтобы найти эти корни, воспользуемся формулой: 𝑥 = (−𝑏 ± √𝐷)/2𝑎. Подставляя значения, получаем: 𝑥 = (−1 ± √13)/2.
Таким образом, уравнение 𝑥^2 + 𝑥 − 3 имеет два корня: 𝑥1 = (−1 + √13)/2 и 𝑥2 = (−1 − √13)/2. Эти корни можно округлить до определенного числа знаков после запятой, в зависимости от постановки задачи. В данной статье было приведено полное описание метода решения и найдены значения корней уравнения.
Уравнение 𝑥^2 + 𝑥 − 3: количество корней и как их найти
Дискриминант можно найти по формуле: D = 𝑏^2 − 4𝑎𝑐, где 𝑎, 𝑏 и 𝑐 — это коэффициенты уравнения 𝑎𝑥^2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0.
Если дискриминант D > 0, то уравнение имеет два различных корня, которые можно найти по формулам:
- 𝑥₁ = (−𝑏 + √D) / (2𝑎)
- 𝑥₂ = (−𝑏 − √D) / (2𝑎)
Если дискриминант D = 0, то уравнение имеет один корень, который можно найти по формуле:
- 𝑥 = −𝑏 / (2𝑎)
Если дискриминант D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.
В случае уравнения 𝑥^2 + 𝑥 − 3, коэффициенты 𝑎 = 1, 𝑏 = 1 и 𝑐 = −3. Подставив их в формулу дискриминанта, получим D = 1^2 — 4 * 1 * -3 = 1 + 12 = 13. Так как D > 0, у уравнения 𝑥^2 + 𝑥 − 3 есть два действительных корня.
Подставив значения коэффициентов и найденное значение дискриминанта в формулы для нахождения корней, получим:
- 𝑥₁ = (−1 + √13) / (2*1) ≈ 0.56
- 𝑥₂ = (−1 — √13) / (2*1) ≈ -1.56
Таким образом, уравнение 𝑥^2 + 𝑥 − 3 имеет два действительных корня: приближенно 0.56 и -1.56.
Критерий Декарта
Чтобы применить критерий Декарта, следует сначала записать многочлен в стандартной форме, где коэффициент при наивысшей степени равен 1. В нашем случае многочлен 𝑥^2 + 𝑥 − 3 уже находится в стандартной форме.
Затем нужно подсчитать количество перемен знака в последовательности коэффициентов многочлена. Перемена знака происходит, когда коэффициенты изменяются с положительного на отрицательный или наоборот. В нашем случае у нас две перемены знака: от положительного коэффициента 1 до отрицательного коэффициента 1, и от отрицательного коэффициента 1 до положительного константы -3.
Число положительных корней | Число отрицательных корней | Число нулевых корней |
---|---|---|
2 | 0 или 2 | 0 или 1 |
Исходя из этой таблицы, мы можем заключить, что уравнение 𝑥^2 + 𝑥 − 3 имеет 2 положительных корня, 0 или 2 отрицательных корня и 0 или 1 нулевой корень. Чтобы точнее определить количество корней, требуется дополнительный анализ и применение других методов, таких как теорема Безу или использование графиков функций.
Метод полного квадрата
Для применения метода полного квадрата к уравнению 𝑥^2 + 𝑥 − 3 необходимо выполнить следующие шаги:
- Выразить левую часть уравнения в виде квадрата бинома.
- Раскрыть полученную квадратную скобку и перенести свободный член на другую сторону уравнения.
- Привести уравнение к стандартному виду, где коэффициент при квадрате переменной равен 1.
- Решить полученное уравнение путем извлечения корня.
Применяя указанные шаги к уравнению 𝑥^2 + 𝑥 − 3, мы получим:
1) Выразим левую часть уравнения в виде квадрата бинома:
𝑥^2 + 𝑥 − 3 = (𝑥 + 1/2)^2 — 1/4 — 3
2) Раскроем полученную квадратную скобку и перенесем свободный член на другую сторону:
(𝑥 + 1/2)^2 — 1/4 — 3 = 0
(𝑥 + 1/2)^2 — 25/4 = 0
3) Приведем уравнение к стандартному виду:
(𝑥 + 1/2)^2 = 25/4
4) Решим получившееся уравнение путем извлечения корня:
𝑥 + 1/2 = ±√(25/4)
𝑥 + 1/2 = ±5/2
Из полученного уравнения можно выразить переменную 𝑥:
𝑥 = -1/2 ± 5/2
Таким образом, уравнение 𝑥^2 + 𝑥 − 3 имеет два корня: 𝑥 = -3 и 𝑥 = 2.
Формула корней квадратного уравнения
Чтобы найти корни квадратного уравнения, можно использовать формулу дискриминанта: 𝐷 = 𝑏^2 − 4𝑎𝑐
В зависимости от значения дискриминанта 𝐷, можно определить количество и тип корней:
- Если 𝐷 > 0, то уравнение имеет два различных вещественных корня, которые можно найти следующим образом:
- 𝑥₁ = (−𝑏 + √𝐷)/(2𝑎)
- 𝑥₂ = (−𝑏 − √𝐷)/(2𝑎)
- Если 𝐷 = 0, то уравнение имеет один корень, который можно найти следующим образом:
- 𝑥 = (−𝑏)/(2𝑎)
- Если 𝐷 < 0, то уравнение не имеет вещественных корней.
Используя формулу дискриминанта и соответствующие формулы для нахождения корней, можно эффективно решать квадратные уравнения и определить количество корней и их тип.