Математические доказательства часто оказываются сложными и запутанными. Однако, существует одно из самых известных и простых доказательств, устанавливающее факт рациональности корня из 2. Интересно, каким образом можно убедиться в рациональности числа, такого как корень из 2? Давайте разберемся!
Допустим, мы предполагаем, что корень из 2 является иррациональным числом, то есть не может быть представлен в виде дроби, в которой числитель и знаменатель являются целыми числами без общих делителей. Чтобы противоречить этому предположению, мы должны продемонстрировать, что корень из 2 действительно может быть представлен в таком виде.
Воспользуемся методом от противного и предположим, что корень из 2 не является рациональным числом, то есть его нельзя представить в виде обыкновенной дроби a/b, где a и b – целые числа без общих делителей. Теперь вспоминаем, что корень из 2 является решением квадратного уравнения x^2 = 2. Если корень из 2 не является рациональным числом, то наверняка существует другое число, которое является его рациональным решением.
Доказательство. Противоречие. Предположение
Доказательство рациональности корня из 2 основывается на методе противоречия. Рассмотрим, что предположение о том, что корень из 2 может быть представлен в виде рационального числа, приводит к противоречию.
Предположим, что существует такое рациональное число p/q, где p и q — целые числа, и q не равно 0, такое что (p/q)^2 = 2.
Тогда можем записать равенство в другой форме: p^2 = 2q^2.
Это означает, что p^2 — 2q^2 = 0.
Заметим, что левая часть уравнения — это разность двух квадратов, которая может быть факторизована по формуле a^2 — b^2 = (a + b)(a — b).
Применяя эту формулу, получаем (p + q)(p — q) = 0.
Из этого следует, что либо p + q = 0, либо p — q = 0.
Если p + q = 0, то p = -q.
Если p — q = 0, то p = q.
В любом случае, мы получаем, что p = q, но это противоречит начальному условию, что p/q — рациональное число.
Таким образом, предположение о рациональности корня из 2 приводит к противоречию, и мы можем заключить, что корень из 2 является иррациональным числом.
Доказательство. Противоречие. Аргумент
Доказательство рациональности корня из 2 основано на методе противоречия, который позволяет получить противоречивое утверждение, исходя из предположения об обратном, чтобы опровергнуть его.
Допустим, что корень из 2 является рациональным числом, то есть может быть представлен в виде дроби p/q, где p и q — целые числа без общих делителей.
Тогда, возводя данное предположение в квадрат, получим 2 = (p/q)^2 = p^2/q^2.
Перемножим обе части равенства на q^2 и получим 2q^2 = p^2.
Заметим, что левая часть равенства является четным числом, так как умножение нечетного числа на 2 даёт чётное число. Следовательно, и правая часть тоже должна быть четной.
Рассмотрим сначала частный случай, когда p — четное число. Тогда p можно записать в виде p = 2k, где k — целое число. Подставим это выражение в p^2 = 4k^2 и получим 2q^2 = 4k^2, или q^2 = 2k^2. Здесь в правой части равенства стоит четное число, что противоречит тому, что q не имеет общих делителей с p.
Теперь рассмотрим случай, когда p — нечетное число. Тогда p можно записать в виде p = 2m + 1, где m — целое число. Подставим это выражение в p^2 = 4m^2 + 4m + 1 и получим 2q^2 = 4m^2 + 4m + 1, или q^2 = 2m^2 + 2m + 1. Здесь в правой части равенства стоит нечетное число, что снова противоречит тому, что q не имеет общих делителей с p.
Таким образом, мы пришли к противоречию в обоих случаях. Из этого следует, что исходное предположение о рациональности корня из 2 неверно, и следовательно, корень из 2 является иррациональным числом.
Таким образом, было проведено доказательство рациональности корня из 2, основанное на методе противоречия и аргументе, приведенном выше.
Доказательство. Противоречие. Следствие
Пусть √2 = p/q, где p и q — целые числа, и q ≠ 0. Тогда можем возвести обе части уравнения в квадрат: (√2)^2 = (p/q)^2
2 = p^2/q^2, что можно переписать в виде p^2 = 2q^2.
Таким образом, мы получили, что p^2 делится на 2. Следовательно, p также должно делиться на 2, т.е. p = 2k, где k — целое число.
Подставим это значение в уравнение: (2k)^2 = 2q^2 → 4k^2 = 2q^2 → q^2 = 2k^2.
Аналогично, это означает, что q должно делиться на 2.
Таким образом, мы получаем, что и p и q делятся на 2, что противоречит нашему предположению, что p/q является несократимой дробью. Значит, изначальное предположение было неверным, и тем самым доказываем, что корень из 2 является иррациональным числом.
Итак, доказательство рациональности корня из 2 приводит к противоречию. Это следствие позволяет нам заключить, что корень из 2 не может быть представлен как рациональное число и является иррациональным.